一分为二并非魔术，数学中最奇妙的定理——分球悖论！

qtribe

巴拿赫-塔斯基悖论，又称分球悖论，是一条经过严格证明的数学定理。

可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）。

这是一条非常反常识的数学定理，基于“选择公理”严格地推导出来，而且不容置疑。

这个定理还有更强的版本描述：一块石头经过分解，可以随意组合成任何东西，可以拼成一个星球，也可以拼成一个人，甚至藏进一个细胞之中！

要理解其中的原理，需要对“无穷”这个概念有深刻的理解，“希尔伯特旅馆”大家可能听过。

这个比喻，是对“无穷”的一个通俗解释，分球悖论也可以通过这个比喻来解释。

我们来类比，“球分成无限份”相当于“旅馆的无限个房间“，把这无限个房间分成偶数和奇数两类，我们再单独把这两类房间分开，分别称为“希尔伯特旅馆一”和“希尔伯特旅馆二”。

如果我们不看序号，或者把两个旅馆的房间重新编号，请问：这两个新的旅馆，和原来的“希尔伯特旅馆”有区别吗?

答案是：没有区别，两个新旅馆，和原来的旅馆一摸一样，房间数一样，每个房间的大小也一样。


分球悖论指出：实心球也存在这样的分解办法，然后进行分类和重组，就能变“一”为“二”；两者本质上是一样的。

有人可能会觉得，新的实心球，质量肯定变为原来的一半！

其实不是的，因为在无穷面前，分球悖论并不满足质量守恒，比如我们假设每个单元的质量为Δm（无穷小），在我们分类的时候，Δm并没有被分解，我们分解的是“∞“。

在数学中，“可数∞”的一半，还是“可数∞”，于是，我们确实得到了两个，和原来一模一样的实心球。

数学上允许这样的事发生，但是为了避免这样的悖论，出现在现实中，大自然把世界设定为离散的，于是有了量子，有了普朗克长度。

所以，实际的事物不可能无限细分，分球悖论也就无法在现实中进行。

或许，这正是数学和大自然，完美统一的表现。

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雪天使0321

小编，乌龟说“只要提前一个身位，兔子是永远追不上乌龟的”。因为兔子每前进一点点，乌龟都会向前走一点儿。时间无限分割，兔子只可以无限接近乌龟。你说是这理儿吧

masscn

设无限个房间，房间都满了，这个假设就有问题，无限个房间怎么会满？

天府々土匪

因为人类的认知和行为的能力都是有限的，因此任何事物都不可能被无限细分。因此这个悖论的提出毫无意义。

rt45rti

一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，…………有限部分[打脸]

186044

就题设而言就错了，说所有性质都一样，请问第一个球的运行性质是拆分，第二个球的运行性质是组合，这能叫所有性质都一样。这里切实体现了数学的工具性，工具再好确改变不了固有性质，也就是能推导不能创造。

猫眯小D

一个三维实心球，必定不存在一种办法分成有限部分，……………我说的对不对？

王Zz

前面是分成有限份后面是无限份

jinbo228

即使数学上有这么个悖论。你也不可能设定一个最小粒子。物质既不能无限可分，也不能无限不可分。这与宇宙起源一样是一个暂时解决不了的悖论！任何想试图解决这两个悖论的人，都将被搧脸！

g199119

一臉懵逼看完，想想看評論，應該會通俗易懂點，……還是一臉懵逼…… 各位大蝦説的，好像真的懂一樣……